これまで、積分は1つの曲線と固定されたx軸との間の空間を測るためのツールとして使われてきました。しかし、地面そのものが動いている場合どうなるでしょうか？この授業では、軸を超えて、$f(x)$ と $g(x)$ の2つの独立した関数境界に囲まれた領域の面積を計算する方法を学びます。
差の幾何学
$x = a$ から $x = b$ の間で、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ によって囲まれる領域 $S$ の面積 $A$ を求めるには、微積分の基礎を築いたリーマン和の論理を用います。
リーマンの拡張
領域を $n$ 個の垂直な帯状に分割します。$i$ 番目の区間内のサンプル点を $x_i^*$ とすると、近似矩形の高さは $f(x_i^*)$ だけではなく、 差 上側曲線と下側曲線の高さの差です：
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
和から積分へ
帯の数を無限大（$n \to \infty$）に増やすと、これらの矩形の面積の和は定積分に収束します：
核心公式:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
ここで $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ です。
絶対差の法則
もし曲線が交差する場合はどうなるでしょうか？$g$ が実際に $f$ より上にあるのに $f-g$ を単純に積分すると、負の結果になります。常に面積の 大きさ を計算できるようにするため、絶対値を使います：
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 面積公式の定理
$f$ と $g$ が連続関数であり、すべての $x$ に対して $f(x) \ge g(x)$ が成り立つとき、$y = f(x)$、$y = g(x)$、$x = a$、$x = b$ で囲まれる領域の面積 $A$ は次の式で求められます：
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
例題1：指数関数と線形関数
$x = 0$ から $x = 1$ までの範囲で、上側が $y = e^x$、下側が $y = x$ となる領域の面積を求めます。
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$